Oscilaciones

1.1 EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

 

Son muchos los sistemas de la naturaleza que siguen un movimiento que en física se llama movimiento armónico simple (o M.A.S).

Ejemplos podemos poner muchos, el movimiento del péndulo de un reloj de pared, la intensidad de corriente en función del tiempo en una línea eléctrica alterna, una masa colgada de un muelle la cual se ha desplazado respecto a su posición de equilibrio, y se ha “soltado” dejando que esta oscile libremente, etc.

Este último ejemplo, es el que vamos a utilizar para explicar con más detalle, los fundamentos de los movimientos oscilatorios.

Imaginemos, como hemos dicho, un objeto con una determinada masa unido a un muelle, como se ven en la figura siguiente.

 

Figura 1.1. Un cuerpo con masa (m) unido a un muelle con constante elástica (k) sin rozamientos ni pérdidas mecánicas describe un MAS cuando este se desplaza una distancia (x) respecto a su posición de equilibrio y se “suelta” dejándolo oscilar libremente.

 

Si no perturbamos el sistema, el objeto estará en su posición de reposo o equilibrio (posición marcada por la la línea de equilibrio).

Perturbemos el sistema a ver que sucede, si nosotros cogemos el objeto, y lo desplazamos una distancia x respecto a su posición de equilibrio, según la ley de Hooke (o lo que es lo mismo, debido a la elasticidad del muelle) será necesario ejercer una fuerza Fx tal que:

Fx=-kx

  • K: Es la constante elástica del muelle, que depende de la rigidez del mismo.
  • x: Por supuesto, la distancia a la que hemos desplazado la masa respecto a su posición de equilibrio.
  • Fx: La fuerza que es necesario realizar para ejercer dicho desplazamiento.

El signo – nos indica simplemente que la fuerza se opone al sentido del desplazamiento respecto a la posición de equilibrio.

Vayamos más allá y tiremos mano de otra ecuación fundamental de la física, la segunda ley de Newton:

Fx=max

Relacionando estas dos ecuaciones, ¿Que pasa? Ambas tienen una de las variables en común, la Fx, así que si las igualamos nos queda:

-kx=max

Acabamos de deducir, ni más ni menos que una expresión que nos da el valor de la aceleración del objeto, en función de otros parámetros característicos del sistema como la constante del muelle, la masa del objeto, y la posición de este último respecto a la posición de equilibrio:

ax=-k/m(x)

Como sabemos que la aceleración es la derivada de la velocidad, y la velocidad, es la derivada de la posición respecto al tiempo, podemos expresar la aceleración como la derivada segunda de la posición respecto al tiempo, lo cual se puede expresar de la siguiente manera:

d2x/dt2=-k/mx

Una vez tengamos claro este concepto, dejémoslo a un lado, y vayamos a estudiar otros conceptos fundamentales del MAS que nos servirán en el futuro, para caracterizar completamente este tipo de movimientos.

Si desplazamos el objeto (estiramos el muelle) y lo soltamos de repente, ocurrirá lo siguiente:

El objeto empezará a coger velocidad, pasará por su posición de equilibrio y, debido la inercia del mismo, seguirá desplazándose pero entonces comprimiendo el muelle. Entonces, a medida que este se va comprimiendo, el objeto va perdiendo más y más velocidad hasta que no dispone de suficiente energía como para seguir comprimiendo el muelle. En este punto, tendrá velocidad 0.

Como en esta posición el muelle está comprimido, (fuera de su posición de equilibrio) debido a su elasticidad, tendrá tendencia a volver a su posición de reposo, por lo que se expandirá y hará retroceder al objeto, haciendo que este coja velocidad, pase por su punto de equilibrio de nuevo y, debido a la inercia de este, vuelva a expandir el muelle hasta llegar de nuevo a velocidad 0.

En este punto, el objeto ha realizado un ciclo completo (ha llegado de nuevo a su punto inicial), así que para empezar a caracterizar el M.A.S, vamos a llamar periodo (T) al tiempo que ha tardado la masa en realizar el ciclo completo.

Si el sistema no tiene pérdidas de ningún tipo (o en otras palabras, hablamos de un sistema ideal) la masa seguirá desplazándose de derecha a izquierda, repitiendo todo el proceso, una y otra vez.

Otra característica del sistema podría ser la cantidad de ciclos por segundo que realiza el objeto al desplazarse de un lado a otro. A este parámetro lo llamaremos frecuencia (f) y, matemáticamente la podemos expresar como sigue:

f=1/T

La unidad de la frecuencia es el ciclo/segundo o más comúnmente, el llamado herz (Hz).

Vayamos con otro parámetro más. Como hemos dicho, si en el sistema no existen pérdidas de ningún tipo, el objeto oscilará de un lado al otro, volviendo al punto de origen una y otra vez.

A la distancia respecto al punto de equilibrio a la que se desplaza entonces el objeto durante sus ciclos de movimiento, la llamaremos Amplitud (A) y, debido a la ausencia de pérdidas en este caso, la amplitud será igual a la posición x inicial que le hemos dado al objeto antes de soltarlo.

Dicho de otra manera:

El desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio se denomina Amplitud.

En caso de existir pérdidas, lo que vendría siendo un sistema más próximo a la realidad, la intuición nos dice que el objeto iría disminuyendo su amplitud en cada ciclo, hasta detenerse en la posición de equilibrio, pero esto se estudiará más adelante en el capítulo: Oscilaciones amortiguadas.

Bien, una vez tenemos claros estos parámetros, yo personalmente echo de menos uno que me parece fundamental para describir el M.A.S, la posición del objeto en función del tiempo.

Experimentalmente, para obtener este valor para cada uno de los instantes de tiempo, podríamos realizar el siguiente montaje:

Como se ven la imagen siguiente, consiste en colocar en nuestro objeto, un rotulador, y por la parte de atrás, un rollo de papel que se vaya desplazando con velocidad constante (tipo los detectores de mentiras antiguos), para de esta manera, mientras el objeto oscila, ir dibujando en el mismo el desplazamiento de este en función del tiempo.

 

Figura 1.2. Un rotulador unido al objeto en movimiento y un papel que se desplaza en dirección perpendicular y con velocidad constante, nos proporcionan el gráfico posición (x) respecto al tiempo (t) del M.A.S que realiza nuestro conjunto objeto-muelle.

 

Si después de un rato registrando datos extraemos el papel y lo analizamos, veremos que tendremos dibujado un gráfico que nos dará los valores de posición (x) en función del tiempo (t), pero, ¿Que es lo más curioso? Si nos fijamos en el tipo de función dibujada, nos damos cuenta de que se trara de una gráfica trigonométrica, más concretamente, una función coseno o coseno, concretamente la que se muestra a continuación.

x=Acos(wt+δ)

Donde:

  • A= Amplitud.
  • wt+δ: Se denomina fase de movimiento.
  • δ= Se denomina constante de fase.

Dicha constante de fase, corresponde a la fase (o dicho de otra manera, su posición angular), cuando t=0.

Si entre dos sistemas armónicos simples, con misma amplitud y mismo periodo tenemos para uno de ellos un valor de δ=0, y para el otro sistema, un valor de δ=0 o un número entero de veces 2π, entonces se dice que los sistemas están en fase, en caso contrario se dice que los sistemas están fuera de fase.